Точный аналоговый калькулятор функции косинуса

Журнал РАДИОЛОЦМАН, июль 2018

Matt Kornblum

EDN

Схема на Рисунке 1 преобразует аналоговое напряжение ±10 В, представляющее угол между θ_MIN и θ_MAX, в напряжение, равное 10·cosθ. Схема может иметь точность лучше 1% в диапазоне ±120°, и лучше 0.2% в диапазоне ±90°. Эти цифры характеризуют погрешность на порядок более низкую, чем дает разложение в ряд Тейлора для того же диапазона и для того же числа членов ряда. Разложение функции косинуса в ряд Тейлора выглядит следующим образом:

Это разложение дает хорошую точность при больших значениях n или при малых углах. Как правило, при n = 2 значительные погрешности начинают накапливаться для углов, превышающих ±45°. Если для лучшего разрешения при бóльших углах использовать больше членов разложения в ряд Тейлора, число n увеличится, и для реализации схемы потребуется больше ресурсов. При n = 2 ряд Тейлора приобретает вид

где (для углов в радианах)

a = 1,
b = 0.5,
c = 0.041667.

Используя метод наименьших квадратов для оптимизации этой функции при n = 2, можно найти такие коэффициенты, которые позволят намного повысить точность во всем требуемом диапазоне входных напряжений без увеличения порядка многочлена Тейлора. Этот подход реализован в схеме на Рисунке 1.

Рисунок 1.	Управляя коэффициентами разложения в ряд Тейлора, можно повысить точность генерации косинусов.

Выбор номиналов резисторов довольно прост. Установите R₁ и R₂ равными друг другу (для максимального входного напряжения 10 В и a ≈ 1) и определите значения R₂ и R₄ с помощью следующих формул:

и

Микросхема прецизионного аналогового умножителя IC₁ формирует квадрат V_IN и меняет знак напряжения. Ее выходное напряжение через резистор R₂ поступает на суммирующий усилитель IC₃. Аналогичная микросхема IC₂ вычисляет четвертую степень V_IN и также суммирует результат на IC₃ через резистор R₄. Опорное напряжение –10 В формирует ток резистора R₁, соответствующий коэффициенту «a». Выходное напряжение IC₃ представляет собой сумму трех слагаемых. Поскольку усилитель умножителя IC₁ является инвертирующим, схема сконфигурирована таким образом, чтобы выходной сигнал IC₁ был положительным, а IC₂ – отрицательным. При использовании резисторов с допускаемым отклонением сопротивления 0.1% точность схемы можно поднять до значений лучше 1% в диапазоне от –120° до +120°. Для лучшей точности следует выбирать операционный усилитель с низким напряжением смещения. На Рисунке 2 показаны ошибки, вносимые рядом Тейлора, теоретической кривой, а также измеренные в реальной схеме. Чтобы скорректировать функцию для диапазона 90°, нужно слегка изменить номиналы компонентов, и ошибки внутри этого диапазона значительно уменьшатся. Тогда константа «a» станет равной 0.9996, b = 0.4962, а c = 0.0371. Новые сопротивления резисторов будут следующими: R₁ = R₃ = 10 кОм, R₂ = 8.16 кОм и R₄ = 44.2 кОм.

Рисунок 2.	Для углов больше 90° пересчет коэффициентов схемы на Рисунке 1 дает значительные улучшения точности при расчете косинусов.

Этот подход применим также для эффективных вычислений значений синуса и косинуса в системах с цифровой обработкой сигналов, где он позволит получать результат быстрее, чем при использовании таблиц преобразования.

Материалы по теме