Не так уж прост этот обычный мост. Часть 1

Журнал РАДИОЛОЦМАН, ноябрь 2014

Семенов В. В., Санкт-Перербург

Введение

Кто же не знает, что такое однофазный мост? В любом источнике питания малой (или даже средней) мощности, как правило, используется однофазная мостовая схема выпрямления с емкостным фильтром. Современные электронные трансформаторы, балласты для люминесцентных ламп, источники питания с бестрансформаторным входом и звеном повышенной частоты, даже компактные сварочные агрегаты – все эти устройства «начинаются» с однофазного мостового выпрямителя с емкостным фильтром.

И что там хитрого в этом выпрямителе? Ну, четыре диода, теперь это, в большинстве случаев, просто модуль, емкость фильтра на выходе и балластный резистор на входе. Всё! Подали на вход переменное напряжение – на выходе получили постоянное напряжение…

Да, это все так, но при условии, что выбор элементов схемы был сделан без грубых ошибок, а именно: диоды выбраны с запасом по току и напряжению, выходное напряжение выпрямителя не превышает номинального напряжения фильтрового конденсатора, его емкость достаточна для сглаживания пульсаций, мощность балластного резистора тоже выбрана с запасом. Как видите, нужны запасы, и там, и сям, а это все, между прочим, далеко не бесплатно – цены на диоды и конденсаторы существенно зависят от рабочих напряжений. А с другой стороны: скупой платит дважды. Если сгорит входной резистор, то придется покупать новый, более мощный. А если и этого не хватит? В общем, ясно – считать надо…

И тут начинаются проблемы: выясняется, что режим работы выпрямителя с емкостным фильтром весьма специфичен. Диоды работают в импульсном режиме, кривые тока несинусоидальны, выходное напряжение зависит от моментов переключения диодов, а эти самые моменты переключения, в свою очередь, зависят от выходного напряжения: круг замкнулся!

Как поступают профессионалы? Выручает методика Б. П. Терентьева [1], который почти 100 лет назад рассчитал требуемые для инженерных расчетов зависимости. Водя пальцем (или карандашом) по этим кривым, можно найти нужные расчетные коэффициенты, подставить их в формулы, и дело в шляпе! Нельзя не отдать должное Терентьеву, он проделал огромную вычислительную работу. Причем в то время, когда, кроме логарифмической линейки, таблиц Брадиса и «железного Феликса» (это такой механический калькулятор, который назывался «Феликс»), никаких вычислительных средств не было.

Одно неудобство: метод графоаналитический, т.е. нужны расчетные кривые. И надо признать, что попытки придумать что-нибудь более удобное предпринимались, и не раз, но широкого распространения новые методики так и не получили.

Таким образом, качественная сторона проблемы, т.е. как работает схема и какие там процессы, достаточно ясна. А вот количественная сторона, т.е. как рассчитать токи и напряжения в схеме, как выбирать параметры элементов, все еще оставляет желать лучшего. Ну, канительно это – графиками пользоваться, да и с годами они, эти графики, испортились. У Терентьева были номограммы большие и красивые, а в современных учебниках и справочниках они сильно уменьшились – какая уж тут может быть точность при определении расчетных коэффициентов? Вот и появляется соблазн сделать это все «на глазок»… Тем более что мощности источников, как правило, небольшие. Ну, ошиблись там с мощностью в балластном резисторе раза в два: не полватта в нем выделяется, а целый ватт. Ну, и что? Поставили двухваттный резистор и забыли о проблеме. Хуже, если мощности побольше, или после первого включения выясняется, что выходного напряжения не хватает.

В общем, надо бы все-таки научиться нормально рассчитывать режим работы схемы и обоснованно выбирать параметры компонентов. Не исключено, что режимы работы могут иметь какие-то экстремумы, тогда можно и оптимизацию провести. Но для этого номограммы неудобны. Нужны формулы, и желательно, чтобы они были алгебраическими. Вот этим и займемся.

Анализ

Схема однофазного мостового выпрямителя с емкостным фильтром показана на Рисунке 1.

Рисунок 1.	Однофазный мостовой выпрямитель с емкостным фильтром.

Диодный модуль VD1-VD4 – это собственно однофазный мост. Резистор R₁ ограничивает входной ток в моменты, когда входное напряжение u₁ превышает напряжение на емкости фильтра С. Резистор R_d, в большинстве случаев, физически не существует. На его месте может стоять, например, микросхема аналогового стабилизатора, или импульсный преобразователь, или транзисторный инвертор. В любом случае, на выходе выпрямителя существует выходное напряжение, имеющее среднее значение U_d (среднее значение – это постоянная составляющая), и от выпрямителя отбирается некоторый ток, имеющий среднее значение (постоянную составляющую) I_d . Следовательно, можно говорить об эквивалентном сопротивлении нагрузки R_d, равном отношению U_d/I_d.

Рисунок 2.	Развертки процессов в схеме.

Основным допущением в методике Терентьева было предположение о том, что емкость фильтра достаточно велика для того, чтобы можно было пренебречь пульсациями выходного напряжения. Почти 100-летняя практика использования этой методики доказывает справедливость такого допущения. Тем более что, в большинстве случаев, емкость фильтра – это электролитический конденсатор, у которого амплитуда переменной составляющей ограничена изготовителями на уровне порядка 3-5 % от номинального рабочего напряжения. Таким образом, на выходе, как правило, действительно, практически постоянное напряжение.

Развертки процессов в схеме при принятых допущениях показаны на Рисунке 2. На развертках по оси времени отложены доли периода ϑ = ωt, где ω = 2πf – круговая частота напряжения питающей сети. Применение такого безразмерного времени позволяет использовать расчетные формулы для любой частоты; действительно, полпериода для любой частоты равно π. Начало отсчета по оси времени соответствует амплитуде сетевого напряжения, т.е. входное напряжение описывается уравнением:

(1)

где U_1max – амплитуда входного напряжения, В.

На Рисунке 2а показана кривая ed, которая называется преобразованной ЭДС, так как формируется диодным мостом из входного напряжения u₁. В течение положительного полупериода входного напряжения (при ) преобразованная ЭДС e_d = u₁, а в течение отрицательного полупериода (при ), соответственно, e_d = –u₁. Реально эту кривую можно наблюдать на выходе моста только при отсутствии емкости фильтра. В нашем случае выходное напряжение выпрямителя равно напряжению на емкости фильтра u_c и в рамках исходных допущений является постоянной величиной. Кстати, в этом случае среднее значение (постоянная составляющая) выходного напряжения практически не зависит от величины емкости фильтра.

Наличие напряжения на емкости фильтра «подпирает» диоды моста: диоды могут открываться только при условии, что входное напряжение больше, чем напряжение на емкости фильтра. Моменты включения и отключения диодов, как видно на Рисунке 2а, можно описать с помощью угла ψ, который называется углом отсечки. При этом интервал проводимости диодов равен 2ψ.

Таким образом, среднее значение выходного напряжения, равное постоянной составляющей напряжения на емкости фильтра, определяется простым соотношением:

(2)

К сожалению, в этом уравнении два неизвестных, одно из которых, угол отсечки ψ, как известно [1], можно найти, используя соотношение между средним значением анодного тока диодов Ia и током нагрузки Id. Действительно, мгновенное значение анодного тока диода на интервале проводимости равно:

(3)

Заряд, переносимый анодным током, должен быть равен заряду, отдаваемому в нагрузку за полпериода входного напряжения. Это значит, что площадка под кривой анодного тока должна быть равна площадке под кривой тока нагрузки за полпериода входного напряжения. Таким образом, используя (1), (2) и (3), можем записать следующее соотношение:

(4)

Отсюда после некоторых преобразований можно получить известное уравнение для расчета угла отсечки:

(5)

Итак, все зависит от соотношения R₁/R_d. Поскольку R_d задано параметрами нагрузки, то все остальное зависит от выбора резистора R₁, т.е. находится в руках разработчика. Вот зачем нужен этот резистор! Никакой это не предохранитель! Резистор на входе моста ограничивает амплитуду анодного тока диодов, задает угол отсечки и, тем самым, определяет величину выходного напряжения, и, кроме того, при включении выпрямителя ограничивает бросок зарядного тока фильтровой емкости. Ну, прямо-таки, самый главный элемент в схеме. Только опять вопрос возникает: как его выбирать надо? Об этом дальше.

Регрессионная модель

Проблема заключается в том, что уравнение (5) решить удается только численными методами. Вот откуда берутся всякие вспомогательные функции и расчетные кривые. Тем не менее, понятно, что проще использовать готовую графическую зависимость, чем численно решать трансцендентное уравнение для каждого конкретного варианта выпрямителя. Чем же в этой ситуации может помочь регрессионная модель? И вообще, что это такое?

Для наших целей, регрессионная модель – это формула (обычно, полином), описывающая реакцию объекта на изменение некоторого воздействия (фактора). Особенностью регрессионных моделей является то, что функциональная зависимость, используемая в модели, никак не связана с реальными процессами, происходящими в объекте. Объект рассматривается как «черный ящик», имеющий какие-то входы и какие-то выходы. Например, кусочно-линейную аппроксимацию прямой ветви вольтамперной характеристики диода, широко используемую для расчета потерь в диоде от прямого тока [2], можно рассматривать как линейную однофакторную модель проводящего состояния диода. В данном случае имеется один вход (фактор – напряжение) и один выход – анодный ток диода. В результате получается, что в рабочем диапазоне входных напряжений выходной ток изменяется практически линейно. Точнее, приращение входного напряжения вызывает пропорциональное (через динамическое сопротивление) изменение анодного тока. Таким образом, достаточно сложные процессы, происходящие в полупроводниковом диоде при изменении напряжения между анодом и катодом, описываются весьма простым алгебраическим уравнением (двучленом).

И как это все пристегнуть к нашему выпрямителю, да так, чтобы практическая польза была? А у нас есть трансцендентное уравнение (5), которое не имеет явного решения. Зато по уравнению (5) с помощью, например, программы MathCad, достаточно просто построить зависимость угла отсечки ψ от отношения R₁/R_d. А потом аппроксимировать эту зависимость каким-нибудь алгебраическим уравнением типа:

(6)

Иногда, имеются ограничения по диапазону изменения переменной x. Если диапазон невелик, то при аппроксимации с заданной точностью можно обойтись только двумя первыми членами полинома. Тогда модель называется линейной. А если нет – то нелинейной. Но если квадратичная аппроксимация не дает требуемой точности, то, как правило, применение такой модели становится малоэффективным: уравнения третьей степени тоже не очень-то решаются...

Для определения коэффициентов A, B, C в уравнении (6) надо составить и решить три уравнения с тремя неизвестными, задав, соответственно, три значения аргументу аппроксимируемой зависимости. Если зависимость сложная, то составленные уравнения могут и не решаться. Тогда надо искать более подходящие аппроксимирующие функции. В общем, подбор аппроксимирующих функций и определение коэффициентов регрессионных моделей – это отдельная проблема, и мы в нее углубляться не будем.

Итак, пусть у нас

а измеряться эта безразмерная величина будет в о.е. – относительных единицах. Из общих соображений понятно, что R₁ не может быть равным нулю (даже если мы его не установим, все равно сработает сопротивление подводящей линии). Кроме того, оно должно быть заметно меньше R_d, иначе КПД выпрямителя будет низким. Кстати, следует отметить, что в выпрямителях с сетевым трансформатором малой мощности сопротивление R₁ определяется сопротивлением короткого замыкания трансформатора, которое может быть порядка 0.1-0.2 R_d. Причем, параметры трансформатора становятся известны только после расчета выпрямителя и после расчета трансформатора. Это может приводить к необходимости повторного, уточняющего расчета всего устройства. Кроме того, разработчик практически лишен возможности выбора R₁ – достаточно важного параметра выпрямителя, определяющего все основные характеристики устройства в целом. Конечно, можно уменьшать величину R₁ (целесообразность этого показана ниже), увеличивая мощность сетевого трансформатора, но это в наше время довольно дорогостоящее удовольствие.

Нет, недаром современные источники питания делаются с бестрансформаторным входом. Хотя, несомненно, главными факторами, заставляющими отказываться от сетевого трансформатора, являются его габариты и стоимость.

В общем, задавшись диапазоном изменения x от 0.01 до 0.3 и вооружившись программой MathCad , вычисляем зависимость ψ(x). Затем с помощью той же программы находим коэффициенты для аппроксимирующей функции вида:

(7)

Ну, и для диапазона от 0.05 до 0.15, характерного для практических расчетов, находим коэффициенты для линейной модели вида:

На Рисунке 3 – результаты этих вычислений: исходная зависимость по уравнению (5), нелинейная модель по уравнению

(8)

и линейная модель по уравнению

(9)

Кстати, расчеты показывают, что линейная модель в диапазоне значений x от 0.04 до 0.2 дает погрешность не превышающую 5%.

Рисунок 3.	Зависимости угла отсечки от R1/Rd.

И что теперь с этим делать? Как можно использовать эти модели? Об этом дальше.

Литература

1. Терентьев Б. П. Выпрямители для радиоустройств. – М.: Радио и связь, 1938. – 231 с.
2. Чебовский О. Г. и др. Силовые полупроводниковые приборы: Справочник/О.Г. Чебовский, Л. Г. Моисеев, Р.П. Недошивин. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 400 с.
3. Эраносян С. А. Сетевые блоки питания с высокочастотными преобразователями. – Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1991. – 176 с.

Окончание