Не так уж прост этот обычный мост. Часть 2

Журнал РАДИОЛОЦМАН, ноябрь 2014

Семенов В. В., Санкт-Перербург

Часть 1.

Оптимизация и методика расчета

Предположим, что нам надо обеспечить на выходе выпрямителя заданную мощность. Поскольку выходное напряжение выпрямителя при изменении R₁/R_d изменяется в достаточно широком диапазоне, требуемая мощность может быть реализована при разных токах и напряжениях в системе. Следовательно, нужны дополнительные соображения для обоснования выбранного режима работы. Экстремум бы желательно найти какой-нибудь. Вот тут-то и поможет нам уравнение (8), которое устанавливает алгебраическую связь между отношением R₁/R_d и углом отсечки ψ.

Итак, полагая, что амплитуда входного напряжения U_1max, известна:

• Задаемся некоторой величиной
  
• Используя (8), находим угол отсечки ψ;
• Используя (2), определяем среднее значение выходного напряжения U_d;
• Для заданной мощности находим 
   и 
• Определяем
  
• Находим амплитуду анодного тока диода по (3) для ϑ = 0:
  

  (10)

• Полагая, что кривая анодного тока на интервале проводимости диода мало отличается от синусоиды, находим действующее значение входного тока (Рисунок 2в) как действующее значение синусоиды с коэффициентом заполнения 2ψ/ϑ:
  

  (11)

• Находим мощность потерь P_R1 в балластном резисторе R₁:
  

  (12)

• На Рисунках 4 и 5 показаны результаты подобных расчетов для мощности нагрузки 25 Вт и амплитуды входного напряжения 300 В. (Это приблизительно 220√2).

Рисунок 4.	Зависимость выходного напряжения от отношения R1/Rd.

Как видно из кривой, представленной на Рисунке 4, выходное напряжение быстро падает с увеличением сопротивления балластного резистора. Для того чтобы постоянная составляющая выходного напряжения была не ниже действующего значения напряжения питающей сети, нужно чтобы величина резистора R₁ была в 10 раз меньше эквивалентного сопротивления нагрузки. Интуитивно это вполне понятно – часть напряжения падает на балластном резисторе. Вообще-то, принято считать, что емкость фильтра заряжается до напряжения, близкого к амплитуде входного напряжения. К сожалению, это так только при холостом ходе, а как только появляется ток нагрузки, напряжение быстро проваливается, и поддержать его увеличением емкости фильтра невозможно.

Рисунок 5.	Зависимость входного тока и тока нагрузи от отношения R1/Rd.

А вот на Рисунке 5 зависимость действующего значения входного тока имеет экстремальный характер. Есть минимум при R₁ = 0.05R_d! К сожалению, при таком соотношении параметров наблюдается значительное увеличение амплитуды анодного тока диодов.

Рисунок 6.	Зависимость мощности потерь и амплитуды анодного тока от R1/Rd.

На Рисунке 6 показана зависимость относительной величины амплитуды анодного тока диода:

При R₁ = 0.05R_d амплитуда анодного тока диода в 4 раза больше среднего значения тока нагрузки. В маломощном выпрямителе такое соотношение не вызывает проблем, но с увеличением мощности этот эффект необходимо учитывать при выборе диодов.

На этом же рисунке приведена зависимость удельных потерь P*_R1 в балластном резисторе при изменении величины R₁:

Эта зависимость показывает, что стремление ограничить амплитуду анодного тока оплачивается увеличением потерь в балластном резисторе, а это приводит к уменьшению КПД. В частности, увеличение R₁ до 0.1R_d снижает амплитуду анодного тока примерно на 20%, но приводит к удвоению потерь в балластном резисторе и снижению КПД до величины порядка 0.8.

В общем, получается, что уменьшать надо балластный резистор. Но тут следует вспомнить о броске зарядного тока при включении выпрямителя, когда емкость фильтра еще не заряжена. Если резистор маленький, то при включении выпрямителя во всем доме свет мигать будет…

А расчет ударного тока заряда емкости – отдельная задача. Это не стационарный, это переходный процесс. Там и регрессионные модели не помогут. В общем, если емкость фильтра большая, то оценить амплитуду первой волны зарядного тока можно, предположив, что приращение напряжения на емкости фильтра в течение первой четверти волны существенно меньше амплитуды входного напряжения:

(13)

Если, резистор маленький, то ударный ток будет большой. Причем, таких полуволн с постепенно уменьшающимися амплитудами может быть много: чем больше емкость, тем дольше она будет заряжаться. Ограничение зарядного тока – отдельная проблема, которая в источниках питания средней мощности решается с помощью специальных схем, называемых системами мягкого пуска [3].

В общем, получается, что выбрать некий «оптимальный» угол отсечки совсем непросто. И «оптимальный», как говорят математики, – в каком смысле? Имеется в виду, какой критерий оптимизации? Или какие критерии??? «Не-е-е, это уже не охота, это рыбалка какая-то получается». Надо выбираться из этих околонаучных дебрей.

Ясно, что если R₁ < 0.05R_d , то это не очень хорошо: амплитуды токов великоваты. Соответственно, если R₁ > 0.1R_d, то это тоже плохо: потери растут, а КПД падает. Значит разумно выбрать какую-то среднюю, или несколько меньше средней, но просто удобную для расчетов цифру, например, 0.07. А что? Чем это хуже уровня 0.707 (–3 дБ), используемого для оценки полосы пропускания усилителей?

Зато теперь все просто: известна амплитуда входного напряжения U_1max, задана выходная мощность выпрямителя P_d, выбираем R₁/R_d = 0.07.

По (9) вычисляем угол отсечки

(Кстати, точная величина – 0.65, следовательно, погрешность около 1.5 %.) и далее по вышеприведенной методике находим токи и напряжения в схеме.

Остался вопрос о величине емкости фильтра. На Рисунке 2б показана кривая тока емкости фильтра i_C и первая гармоника этого тока i_C(1). Как известно, амплитуда пульсаций напряжения на емкости определяется, в основном, амплитудой первой гармоники тока емкости:

(14)

где

I_C(1)max – амплитуда первой гармоники тока емкости, А;
f_n – частота первой гармоники пульсаций, для однофазной мостовой схемы равная удвоенной частоте напряжения питающей сети (обычно 100), Гц;
С – емкость фильтра, Ф.

При угле отсечки порядка 0.6-0.8 амплитуду первой гармоники тока емкости можно вычислять по следующему соотношению:

(15)

Допустимая величина пульсаций напряжения на емкости задается изготовителем и обычно составляет 3-5 % от номинального рабочего напряжения конденсатора. Кстати, следует отметить, рабочее напряжение фильтрового конденсатора должно выбираться не меньше амплитуды входного напряжения с учетом 10% допуска на нестабильность. Для нормальной сети с напряжением 220 В эта цифра равна 341.3 В. Таким образом, с учетом стандартной шкалы номинальное напряжение конденсатора должно быть не меньше 350 В.

Тогда, решив (14) относительно С, с учетом (15), получим выражение для расчета емкости фильтрового конденсатора:

(16)

Кстати, для использованного выше примера на 25 Вт эта емкость получается чуть больше 20 мкФ. Не так уж и много по современным меркам… Это потому, что эквивалентное сопротивление нагрузки равно 2600 Ом. Соответственно, сопротивление балластного резистора тоже не очень маленькое – 180 Ом. Следовательно, амплитуда ударного тока при включении не превышает 1.7 А. Никаких проблем это вызывать не должно. Ну, а если мощность нужна в десять раз больше? Ясно, что ударный ток увеличится тоже в 10 раз! Не очень приятно, но терпимо. А если еще в 10 раз больше, как, например, нужно для инверторного сварочного аппарата? Амплитуда зарядного тока 170 А??? Многовато будет. Входной автомат может срабатывать. Тут уже придумывать надо что-нибудь посложнее, чем просто балластный резистор. Увы, количество переходит в качество. Диалектика.

Выводы

Мощная штука эта регрессионная модель. Она позволила трудно вычисляемую зависимость заменить простеньким алгебраическим уравнением. А это, в свою очередь, позволило достоверно обосновать методику расчета, для реализации которой в худшем случае нужен инженерный калькулятор. А если запомнить, что косинус 0.64 (рад) равен 0.8, то можно обойтись даже школьным. Кроме того, регрессионная модель позволяет значительно проще решать задачи оптимизации параметров схемы по тем или иным критериям, поскольку расчет целевой функции может выполняться чисто аналитическими методами. Но это уже тема для другой статьи.

Литература

1. Терентьев Б. П. Выпрямители для радиоустройств. – М.: Радио и связь, 1938. – 231 с.
2. Чебовский О. Г. и др. Силовые полупроводниковые приборы: Справочник/О.Г. Чебовский, Л. Г. Моисеев, Р.П. Недошивин. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 400 с.
3. Эраносян С. А. Сетевые блоки питания с высокочастотными преобразователями. – Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1991. – 176 с.