Какая кривая на Рисунке 1 лучше аппроксимирует отклик на ступенчатые цифровые сигналы, с которыми вы работаете каждый день? Кусочно-линейная модель бездумно следует по идеально равномерному наклонному участку и резко ударяется о свой верхний предел. Реальные сигналы так себя не ведут. Гладкая на вид кривая – это гауссова ступенька. Это интеграл по времени от гауссовой колоколообразной кривой. Гауссова ступенька имеет плавное начало, плавный хвост и быстрый монотонный подъем в середине. Она больше похожа на реальный цифровой сигнал, и на то есть веская причина.
 |
|
| Рисунок 1. | Кусочно-линейная аппроксимация ступеньки имеет острые углы, которые не встречаются в реальных сигналах. |
В области анализа линейных систем Центральная предельная теорема гласит, что ступенчатый отклик любой системы, характеристики которой ограничены большим числом схожих эффектов, примерно одинаково ограничивающих полосу пропускания, стремится стать гауссовым по мере приближения числа эффектов к бесконечности. Эта теорема применима к цифровым устройствам, поскольку типичный цифровой драйвер состоит из множества соединенных последовательно каскадов, ограничивающих характеристики, и все они имеют приблизительно одинаковую полосу пропускания.
В драйвере ввода-вывода используется несколько каскадов для быстрого преобразования наноамперных токов кристалла в миллиамперные токи на печатной плате. Однокаскадный усилитель на полевом транзисторе не может справиться с этой задачей. Если сделать однокаскадный логический вентиль на полевом транзисторе достаточно большим для переключения токов на уровне печатной платы, то тока на уровне кремниевого кристалла будет недостаточно для быстрой зарядки затвора этого транзистора. Лучший подход – разбить схему на несколько последовательно соединенных каскадов. Каждый каскад экспоненциально больше предыдущего. Для достижения наилучших характеристик специалисты по проектированию логических элементов тратят много времени на выбор количества каскадов в каждом драйвере и тщательную проработку каждого каскада.
Вот тут-то и вступает в игру Центральная предельная теорема. Представьте, что вы проектируете 10-каскадный драйвер ввода-вывода. На постоянном токе схема работает отлично. По мере повышения частоты в игру вступают различные паразитные эффекты, ограничивающие полосу пропускания. На каждый каскад влияют, возможно, 20 паразитных эффектов, что в общей сложности составляет 200 эффектов, с которыми необходимо справиться, чтобы завершить проект. Система работает как каскад из 200 крошечных элементов фильтра нижних частот, соединенных последовательно. Самые плохие элементы ограничивают параметры всей системы, независимо от того, насколько хорошо работают остальные. Если вы хотите улучшить общие характеристики, сначала займитесь худшими элементами.
Последовательно определяйте самые низкоуровневые эффекты и снижайте их влияние по одному за раз, пока не доведете характеристики каждой части системы до единого предела, за которым становится все труднее добиться значительных успехов. В этот момент прекратите возиться со схемой и немедленно запускайте продукт в производство. В результате создается система, состоящая из множества последовательно соединенных каскадов, ограничивающих ее характеристики, все из которых имеют одинаковую полосу пропускания. По этой причине ступенчатый отклик выглядит гауссовым.
Видно, что максимальное отклонение во временнóй области между гауссовой и кусочно-линейной ступенькой составляет всего 5% (Рисунок 1). Эта величина не кажется большой, но острые углы в кусочно-линейной кривой могут вызывать отклонения в частотной области до 20 дБ, что является существенным источником ошибок.
