РадиоЛоцман - Все об электронике

Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров. Часть 2

Журнал РАДИОЛОЦМАН, август 2015

Владимир Рентюк, Запорожье, Украина

Часть 1

Для увеличения подавления используют каскадное включение одиночных звеньев. В профессиональной технической литературе, например, в [1] говорится, что частота среза для случая n звеньев с одинаковыми частотами среза равна

  (4)

где

FCi – частота среза одного звена,
α – коэффициент, определяемый по формуле:

  (5)

где n – количество звеньев в фильтре.

Автор встречал в технической литературе и иные «приближенные» формулы для расчета подобных структур, например,

но все они дают большую погрешность, и пользоваться ими даже для оценочных расчетов не стоит. Формула (4) хороша в теории, но не на практике. На Рисунке 3 показаны два, совершено одинаковых с точки зрения теории ФНЧ.

Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров
а) R1 = R2 = R3; C1 = C2 = C3 б) R1 = 0.1R2 = 0.01R3; C1 = 10C2 = 100C3
Рисунок 3. Два варианта трехзвенных ФНЧ на основе RC-звеньев.

Как мы видим, представленная на Рисунке 3 структура является многозвенным фильтром, составленным из фильтров первого порядка. Если верить теории, то затухание должно быть 18 дБ/октава или 60 дБ/декада. Поскольку частоты среза всех звеньев равны и составляют примерно 1 кГц, то опять же, согласно теории, частота среза такого трехзвенного фильтра равна 506 Гц, а переворот фазы на 180° должен происходить на частоте 1.7 кГц.

На самом деле:

  • для варианта а) частота среза равна примерно 192 Гц,
  • для варианта б) частота среза равна 455 Гц.

В части ФЧХ и коэффициентов затухания мы имеем:

  • для варианта а) затухание 26 дБ/декада в первой декаде, переворот фазы на 180° на 2.4 кГц;
  • для варианта б) затухание 40 дБ/декада в первой декаде, переворот фазы на 180° на 1.8 кГц.

Как видим, перед нами два совершенно разных фильтра (их АЧХ показаны на Рисунке 4), и не один из них в полной мере не соответствует классической теории. Автор этой статьи, будучи уже достаточно опытным инженером, допустил подобную грубую ошибку при разработке фильтра для подавления частоты выборки сигнала в многоканальной системе связи. Таким образом, при построении многозвенных ФНЧ выбор номиналов элементов для их реализации необходимо приближать к виду, приведенному на Рисунке 3б, или разделять звенья буферными усилителями, что сводит на нет ряд достоинств этих фильтров: увеличивает уровень шумов, уменьшает динамический диапазон, увеличивает нелинейные искажения. Кроме того, повторюсь, здесь для упрощения был рассмотрен идеальный вариант использования фильтра, когда выходное сопротивление источника сигнала равно нулю, а сопротивление нагрузки фильтра – бесконечности. Следовательно, необходимо учитывать, как это было показано выше для однозвенного фильтра, и реальные условия использования фильтра.

Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров
АЧХ фильтра (Рисунок 3а)
Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров
АЧХ фильтра (Рисунок 3б)
Рисунок 4. АЧХ простейших трехзвенных ФНЧ, изображенных на Рисунке 3.

Если рассматривать отдельные ФНЧ как неизбежные части некой общей схемы, то мы можем увидеть, что они могут быть образованы линиями передачи сигнала, усилительными каскадами (все они имеют ограниченную полосу пропускания в области высоких частот), выходным сопротивлением и емкостью нагрузки. Все эти линейные искажения в комплексе сложно поддаются анализу и требуют тщательного моделирования.

А каким может и должен быть подход к фильтрам высокой частоты? Здесь наиболее типичный случай – многозвенные ФВЧ, но не как отдельная структура, типа представленной на Рисунке 3, а в виде нескольких каскадов с разделительными конденсаторами. Такие каскады можно и нужно считать эквивалентными ФВЧ первого порядка (Рисунок 2а). Если для случая с ФНЧ, как это отмечено выше, провести оценку достаточно сложно, то для отдельных элементарных ФВЧ их суммарную АЧХ относительно легко оценить по формулам.

Модуль передаточной функции фильтра описывается таким же выражением, как и для ФНЧ:

где:

ω – циклическая частота, равная 2πf,
τ – постоянная времени, равная в нашем случае RC.

Здесь, для большинства случаев:

R – входное сопротивление, 
С – емкость разделительного конденсатора.

Поскольку модуль передаточной функции аналогичен ФНЧ, то и частота среза определяется аналогично, как

А вот ФЧХ фильтра имеет отличие от ФНЧ:

Как правило, выходное сопротивление источника сигнала значительно меньше сопротивления нагрузки, поэтому приведенные формулы могут использоваться на практике без особых ограничений. Если же это условие не соблюдается, тот в формулах необходимо учитывать суммарное сопротивление.

Для случая последовательного соединения ФВЧ результирующая частота среза может быть легко определена по приближенной формуле:

Здесь такое приближение уместно для практики и не дает большой погрешности. Вышеизложенное касалось исключительно фильтров. Но, как было уже сказано, все, что бы мы не проектировали, в итоге оказывается неким фильтром, то есть усилительный тракт априори будет иметь некоторый уровень линейных искажений. Поэтому на практике нам часто бывает необходимо распределить допустимые линейные искажения между каскадами. Причем, лучше сделать это все заранее, чтобы не оказаться в ситуации персонажа из известного анекдота («Ах, если бы я был такой умный сейчас, как моя жена потом!»). Поверьте, лучше все, что можно, заранее рассчитать и оценить, чем сидеть потом с паяльником, подбирая элементы и используя при этом известные идиоматические выражения.

Чтобы избежать подобной ситуации, необходимо привести эквивалентную схему тракта к системе элементарных линейных фильтров первого порядка и распределить между ними допустимые линейные искажения. В определении элементов элементарного звена вам поможет формула, выведенная автором статьи еще в начале его инженерной карьеры. За основу берется известное эквивалентное сопротивление R элементарной ячейки, например, это может быть входное сопротивление каскада (для случая с ФВЧ), сопротивление источника сигнала или выходное сопротивление каскада (для случая с ФНЧ). Для каждой элементарной ячейки на заданной частоте F закладывается максимально допустимый уровень линейных искажений N (в децибелах) и рассчитывается максимально (для случая ФНЧ) или минимально (для случая с ФВЧ) допустимая для этих условий емкость конденсатора C. Для случая с ФНЧ этот конденсатор будет емкостной частью нагрузки, а для случая с ФВЧ – разделительным. Формулы для расчета имеют вид:

для ФВЧ и

для ФНЧ.

При необходимости их можно легко решить относительно R или F.

Если перейти к смешанным структурам, то одним из самых распространенных и интересных с практической точки зрения вариантов является частотно компенсированный делитель напряжения, нередко имеющий емкостную нагрузку. Например, он может быть нагружен на линию передачи, а обычный экранированный кабель имеет типичную погонную емкость 100 пФ/м, о чем разработчики часто забывают. В общем виде такая система имеет вид, представленный на Рисунке 5.

Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров
Рисунок 5. Частотно компенсированный делитель.

Не загружая читателей вычислениями, сразу дадим практическую формулу. Для полной компенсации емкости нагрузки необходимо выполнить условие C1/C2 = R2/R1. Проверка правильности выбора компенсирующей емкости С1 осуществляется подачей на вход делителя импульса напряжения и оценкой его искажений. Правильно подобранная частотная компенсация на коэффициент передачи делителя влияния не оказывает.

Совместив однозвенные ФНЧ и ФВЧ, мы получим примитивный полосовой фильтр (ППФ), изображенный на Рисунке 6.
 

Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров
Вариант а) Вариант б)
Рисунок 6. Простейшие ППФ.

В общем виде именно к такому фильтру могут быть приведены эквивалентные схемы большинства усилителей. ФВЧ образован элементами C1 и R2, а ФНЧ – элементами R1 и C2. Соответственно, он может быть легко рассчитан с учетом приведенных выше формул и уточнений.

Центральная частота фильтра будет совпадать с частотами среза образующих его ФВЧ и ФНЧ, и равна

Фаза фильтра будет меняться от +90° до –90°, а фазовый сдвиг на центральной частоте будет равен нулю.

Формулы для практического расчета следующие:

для варианта а)

R2 = R,
C2 = C,
R1 = mR2,
C2 = C/m,

для варианта б)

R2 = R,
C2 = C,
R1 = mR2,
C2 = C/m,

Здесь FC2 и FC1 – верхняя и нижняя частоты среза фильтра, соответственно.

Эта структура может использоваться и в качестве селективного фильтра с максимальной добротностью Q = 0.5; в этом случае R1 = R2 = R, а C1 = C2 = C. Коэффициент передачи на частоте резонанса будет равен 1/3, а частота резонанса будет равна центральной частоте F0.

Если этот фильтр дополнить делителем напряжения с коэффициентом передачи 1/3, а сигнал снять с диагонали получившегося моста, то мы придем к известной схеме моста Вина-Робертсона. Эта схема является уже полосно-заграждающим фильтром, а вернее, фильтром с подавлением частоты резонанса. Его ФЧХ на частоте резонанса будет иметь скачок с –90° до +90°. В качестве фильтра такая структура используется крайне редко, она нашла свое применение в генераторах синусоидальных колебаний.

Наиболее часто для подавления нежелательной частоты используется другой вариант комбинированого фильтра, а именно, изображенный на Рисунке 7, двойной Т-образный.

Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров
Рисунок 7. Двойной Т-образный мост.
 
Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров
Рисунок 8. АЧХ двойного Т-моста (R = 16 кОм, C = 10нФ, F0 = 1000 Гц).

Несмотря на низкую, характерную для всех RC-фильтров, добротность, данный Т-мост может подавить сигнал с частотой своего резонанса, по крайней мере, на 50 дБ (Рисунок 8). Частота резонанса сбалансированного моста (Рисунок 7) определяется по формуле

При необходимости снизить уровень подавления параллельно мосту включается добавочный резистор. Чаще всего такая схема используется в цепи отрицательной обратной связи. В этом случае она становится не подавляющей, а селективной. Аналогичные фильтры использовались в приставках «вау-вау» для электрогитар.

Подобные схемы автор использовал в составе конечных ступеней формирования тембра в своих ЭМИ серии «СИМОНА» и синтезаторе «Аля» [3]. На основе Т-моста был выполнен регулируемый формантный фильтр [2]. Использование такого простого решения поможет вам обогатить и украсить звучание, например, генератора музыкальных сигналов, звучание которого в обычном исполнении является простой, извините, «пиликалкой», либо потребует сложных программных решений. (Тембр, полученный с помощью такого фильтра, можно прослушать, скачав с [3] сэмплы ДКЭМИ «СИМОНА»).

В завершение на Рисунке 9, исключительно в качестве примера использования сложных фильтровых комбинаций на основе RC-цепей, приведена схема трехполосного регулятора тембра, который был разработан автором статьи в 1983 году для первого в СССР моноблочного музыкального центра высшего класса «Такт-011 стерео».

Некоторые практические вопросы проектирования низкочастотных фильтров
Рисунок 9. Трехполосный регулятор тембра музыкального центра
«Такт-011 стерео».

В следующей статье, посвященной этой теме, будут рассмотрены практические вопросы проектирования LC- и RLC-фильтров.

Литература

  1. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. 12-е изд. Том 1, 2: Пер. с нем. – М.: ДМК Пресс, 2008.
  2. Рентюк В. «Синтез музыкальных тембров», цикл статей, Радиоаматор, №10, 11 2011, №1, 3, 4 2012.
  3. Музей советских синтезаторов

Перевод: В.Рентюк по заказу РадиоЛоцман

JLCPCP: 2USD 2Layer 5PCBs, 5USD 4Layer 5PCBs

Для комментирования материалов с сайта и получения полного доступа к нашему форуму Вам необходимо зарегистрироваться.
Имя