Как рассчитать импульсный преобразователь электрической энергии? Часть 5

Как связать магнитные процессы с электрическими?

После выбора магнитопровода и определения режима его работы на следующем шаге расчета следует определить параметры токов в обмотках дросселя. В первую очередь это необходимо для выбора проводов и конструктивного расчета этого индуктивного элемента. Кроме этого токи обмоток во многих методиках расчета являются «базовыми» – отправной точкой для определения всех остальных характеристик преобразователей и выбора компонентов их силовой части: транзисторов, диодов и конденсаторов.

В общем случае в дросселях и трансформаторах магнитная индукция связана с токами обмоток законом полного тока (более подробно этот вопрос рассмотрен в [12]):

(35)

где

N_ОБМ – общее количество обмоток, по которым в данный момент протекает ток;
K – порядковый номер обмотки (K = 1, 2, 3…N_ОБМ);
I_K, N_K – соответственно, ток и количество витков каждой обмотки.

Если бы токи I_K нам были известны, то формула (35) позволила бы без проблем рассчитать B. Однако перед нами стоит обратная задача: токи обмоток нужно определить по известному значению магнитной индукции. И тут возникают как минимум две сложности. Во-первых, эквивалентная магнитная проницаемость μ_ЭКВ не является постоянной и зависит от степени намагниченности магнитопровода. Во-вторых, если магнитное поле связано более чем с одним током, то однозначно решить задачу, используя только формулу (35), не получится, ведь одна и та же индукция может быть создана бесконечным количеством комбинаций токов в обмотках. Например, пусть в дросселе ток одновременно протекает по двум обмоткам с одинаковым количеством витков (N₁ = N₂). В этом случае токи I₁ = 1А I₂ = 3А и I₁ = 2А I₂ = 2А создадут одинаковую индукцию. И как теперь определить «правильную» комбинацию?

Будем решать вопросы по мере поступления, но вначале запишем формулу (35) в другом виде:

(36)

Теперь магнитная индукция выражена через часто используемый при расчетах индуктивных элементов параметр «напряженность магнитного поля» H (ее также называют «намагничивающей силой»):

(37)

Кроме этого в формуле (36) теперь явно указано, что μ_ЭКВ зависит от напряженности магнитного поля, то есть μ_ЭКВ(H) – это эквивалентная магнитная проницаемость в рабочей точке.

Типовая зависимость μ_ЭКВ(H) показана на Рисунке 16. Из графиков видно, что по мере увеличения H магнитная проницаемость уменьшается. В сильных магнитных полях (при H → ∞) происходит насыщение материала магнитопровода и его способность «усиливать» магнитное поле исчезает (μ_ЭКВ(H) → 1).

Рисунок 16.	Графики относительного изменения μЭКВ от напряженности магнитного поля H для материалов MPP с различной начальной магнитной проницаемостью [8].

Как это явление влияет на токи обмоток? Рассмотрим вначале идеальный случай. Представим себе, что у нас есть источник напряжения, способный обеспечить нагрузку бесконечно большим током при неизменном напряжении на выходе. Подключим к нему дроссель с единственной обмоткой, число витков которой равно N, а активное сопротивление равно нулю (Рисунок 17). Также условимся, что в момент подключения к источнику напряжения магнитопровод размагничен.

Рисунок 17.	Формы напряжения, тока и индукции в различных случаях.

Согласно второму закону Кирхгофа, напряжение на выходе источника напряжения должно уравновеситься суммой ЭДС самоиндукции и падения напряжения на активных элементах схемы. Но поскольку все активные сопротивления равны нулю, на основании закона Фарадея можно записать:

(38)

Поскольку мгновенное значение магнитного потока φ(t) связано с мгновенным значением индукции b(t) соотношением φ(t) = b(t)S (S – площадь поперечного сечения магнитопровода), а напряжение на выходе нашего источника напряжения в любой момент постоянно (u(t) = const = U), то из формулы (38) получится весьма любопытный вывод:

(39)

Если формулу (39) описать словами, то получится следующее: если идеальный дроссель подключить к идеальному источнику напряжения, то магнитная индукция в его магнитопроводе будет с постоянной скоростью увеличиваться до бесконечности.

Но какой должна быть намагничивающая сила, чтобы это произошло? Из формулы (36) видно, что Н отличается от B на величину μ₀μ_ЭКВ. Магнитная постоянная μ₀ является одной из фундаментальных констант нашей Вселенной, и она не меняется ни при каких условиях. А вот эквивалентная магнитная проницаемость магнитопровода μ_ЭКВ таким свойством не обладает, поэтому скорость изменения напряженности магнитного поля, а, следовательно, и создающего ее тока, в разные моменты времени будет разной. Вначале, при больших значениях μ_ЭКВ, H и I будут изменяться медленно, но по мере намагничивания магнитопровода и уменьшения μ_ЭКВ даже небольшое изменение индукции потребует значительного увеличения тока в обмотке.

Например, пусть эквивалентная магнитная проницаемость μ_ЭКВ изменяется резко (Рисунок 17а), что произойдет в схеме? Сразу после замыкания ключа ток в обмотке дросселя начнет линейно увеличиваться с относительно небольшой скоростью. Но как только магнитная индукция b(t) достигнет величины насыщения B_НАС, из-за резкого уменьшения μ_ЭКВ произойдет скачкообразное изменение скорости нарастания тока. Ток в обмотке дросселя при этом продолжит линейно увеличиваться, но уже гораздо быстрее. Обратите внимание, что на скорость изменения индукции насыщение магнитопровода не повлияло никак, ведь она определяется законом Фарадея, а не законом полного тока.

Чтобы глубже прочувствовать весь масштаб катастрофы, происходящей при насыщении сердечника, приведем цифры. Пусть начальная магнитная проницаемость магнитопровода μ_ЭКВ = 100. Пусть при таком значении μ_ЭКВ ток в обмотке нарастает со скоростью 1 А/с, а насыщение сердечника происходит при токе 1 А. Это означает, что сердечник войдет в режим насыщения спустя секунду после подключения обмотки к источнику питания, при этом ток в обмотке будет равен 1 А. После насыщения магнитопровода эквивалентная магнитная проницаемость уменьшится до единицы, и ток в обмотке уже будет нарастать в сто раз быстрее, а это значит, что спустя еще секунду он достигнет величины 101 А. Вот почему даже кратковременное насыщение магнитопровода дросселя или трансформатора может стать причиной выхода из строя силовой части преобразователя (хотя существуют схемы, в которых насыщение магнитопровода является обязательным условием работы).

Если магнитопровод выполнен из материала, не имеющего резких перегибов кривой намагничивания (Рисунок 17б), то процессы будут аналогичны, только скорость нарастания тока будет увеличиваться не так стремительно. Но все равно, рано или поздно наступит момент, когда ток в обмотках начнет нарастать с той же самой скоростью, что и при отсутствии магнитопровода.

В реальности же все немного проще (Рисунок 17в). Неидеальность источника питания и наличие активного сопротивления обмотки приведут к «просадке» эквивалентного напряжения, подводимого к обмотке. Это, согласно формуле (39), приведет к уменьшению скоростей нарастания b(t), h(t) и i(t). Если не принять никаких мер, то рано или поздно падение напряжения на активных сопротивлениях станет равным U, напряжение на выводах обмотки (эквивалентное), согласно второму закону Кирхгофа, станет равным нулю, что приведет к остановке нарастания индукции, напряженности магнитного поля и тока, а вся система перейдет в новое стационарное состояние.

Зачем нужен это экскурс в физику и теорию электрических цепей? Хотя бы затем, что в реальном преобразователе при линейном изменении магнитной индукции магнитопровода токи в обмотках могут быть нелинейными (Рисунок 18). Чем больше ферромагнитный материал приближается к режиму насыщения, тем более нелинейными становятся токи.

Рисунок 18.	Диаграммы магнитной индукции b(t) и тока i(t) в обмотке дросселя при различных режимах работы магнитопровода.

В большинстве книг, посвященных импульсным преобразователям, этот момент рассмотрен недостаточно подробно. Во многих моделях считается, что магнитопровод дросселя никогда не зайдет в режим насыщения, поэтому токи в его обмотках всегда будут иметь «треугольную» форму и изменяются на некоторую величину, не зависящую от тока нагрузки. И это может сбить с толку начинающего разработчика. Поэтому если вы вдруг увидели на осциллографе ток, показанный на Рисунке 18 красным цветом, и это не было задумано, то знайте, что вам повезло, потому что ваши транзисторы и диоды еще «живы». Обычно при переходе в этот режим, например, при перегрузке преобразователя по току, силовые полупроводниковые приборы выходят из строя менее чем за секунду.

Теперь, зная всю специфику работы магнитопровода, мы можем рассчитать размахи пульсаций тока в обмотках нашего дросселя. А для этого необходимо определить величину μ_ЭКВ.

В большинстве справочников зависимости μ_ЭКВ(B) отсутствуют, а приводятся обычно зависимости μ_ЭКВ(H), как, например, на Рисунке 16. Но нам ничего не мешает определить μ_ЭКВ(H) классическим способом – по кривым намагничивания. Для этого отложим на основной кривой по вертикальной оси диапазон изменения индукции ΔB в соответствии с выбранными значениями B_М и В_СР и, опустив перпендикуляры на горизонтальную ось, определим соответствующее ему значение ΔH (Рисунок 19).

Рисунок 19.	Определение μЭКВ по кривым намагничивания материала T26-52.

Эквивалентная магнитная проницаемость в этом случае будет равна:

(40)

Как видно из расчетов, μ_ЭКВ(H) мало чем отличается от начального значения, обещанного производителем, поэтому примем в дальнейших расчетах использованное ранее значение μ_ЭКВ(H) = 75, списав полученное расхождение на неточности определения ΔB и ΔH, хотя для некоторых магнитных материалов μ_ЭКВ(H) в рабочей точке может быть и больше μ_НАЧ.

Теперь можно определить величины пульсаций токов в обмотках дросселя:

(41)

На всякий случай сделаем проверку, определив размах пульсаций в обмотках другим путем. Справочный параметр магнитопровода Т26-52 равен A_L = 56 нГн/виток². В этом случае индуктивности обмоток равны:

(42)

На протяжении первого интервала преобразования длительностью t₁ = 5.83 мкс к обмотке W1 прикладывается напряжение U_ВХ = 5 В. Согласно теории электрических цепей за это время ток в обмотке должен измениться на величину ΔI₁:

(43)

Это практически совпадает со значением, рассчитанным по формуле (41). Аналогично, можно определить размах пульсаций во второй обмотке, к которой на втором интервале преобразования длительностью t₂ = 4.17 мкс приложено выходное напряжение второго канала U_ВЫХ2 = 12 В:

(44)

И здесь результат совпал с формулой (41).

А что, так тоже можно? Можно, но при условии, что эквивалентная магнитная проницаемость в рабочей точке μ_ЭКВ(H) не сильно отличается от ее начального значения μ_НАЧ, а мы это проверили, в формуле (40). Дело в том, что справочный параметр A_L приводится при условии, что магнитопровод работает в слабых магнитных полях, когда μ_ЭКВ(H) ≈ μ_НАЧ. По мере намагничивания магнитопровода μ_ЭКВ(H), а, следовательно, и индуктивности обмоток, будут уменьшаться, поэтому значения, полученные в формуле (41), могут значительно отличаться от расчетов (42) – (44). В этих случаях, чтобы минимизировать справочный параметр A_L желательно пересчитать по формуле (9), подставив в нее качестве эквивалентной магнитной проницаемости значение μ_ЭКВ(H).

Список источников

1. Русу А.П. Откуда появились базовые схемы преобразователей
2. Русу А.П. Зачем нужен трансформатор в импульсном преобразователе электрической энергии?
3. Русу А.П. Особенности применения трансформаторов в импульсных преобразователях электрической энергии
4. Русу А.П. В каком режиме должен работать магнитопровод дросселя импульсного преобразователя?
5. Материалы с сайта coretech.com.ua
6. Русу А.П. Как определить размеры магнитопровода дросселя импульсного преобразователя
7. Русу А.П. Почему импульсные преобразователи «не любят» «легкую» нагрузку
8. Каталог Powder Cores. – Epcos. – Magnetics. – 2017. – 112c.
9. Ferrites and accessories. SIFERRIT material N87. – Epcos. – 2006. – 7с.
10. Каталог сердечников из распыленного железа. – Coretech. – 2012. – 24с.
11. Русу А.П. Почему обмотки дросселя обратноходового преобразователя могут иметь разное число витков
12. Русу А.П. Может ли ток в обмотке дросселя измениться мгновенно?