РадиоЛоцман - Все об электронике

Как рассчитать импульсный преобразователь электрической энергии? Часть 6

Журнал РАДИОЛОЦМАН, октябрь 2019

Часть 5

Несколько слов о связанных индуктивностях

В предыдущей части статьи мы определили, на какую величину будут изменяться токи в обмотках W1 и W2 (ΔI1 = 3.6 A и ΔI2 = 2 A). Но это справедливо только в случае, когда ток протекает лишь по одной из них. На первом этапе преобразования это выполняется всегда, поскольку обмотка W2 отключена обратно смещенным диодом VD1. А на втором – только если отключена нагрузка одного из каналов. То есть, если отключить нагрузку первого канала (IВЫХ1 = 0), тогда после заряда конденсатора C2 диод VD2 закроется, и ток через обмотку W1 на втором этапе преобразования протекать не будет (ΔI2 = 2 A, а ΔI1 = 0). Если то же самое проделать со вторым каналом, тогда получим, соответственно, ΔI1 = 3.6 A, а ΔI2 = 0. Но если оба канала нагружены, то на втором этапе преобразования изменения токов ΔI1 и ΔI2 уже будут другими.

Задача о параллельном соединении связанных индуктивностей.
Рисунок 20. Задача о параллельном соединении
связанных индуктивностей.

Ближайшей похожей задачей в теории электрических цепей является задача о параллельном соединении двух связанных индуктивностей (mutual inductance) (Рисунок 20). Однако ее решение, приведенное во многих учебниках, например в [13], оставляет много вопросов. Например, эквивалентная индуктивность LЭКВ двух связанных обмоток определяется по формуле:

  (45)

где

L1, L2 – собственные индуктивности обмоток;
M – взаимная индуктивность.

Взаимная индуктивность М показывает степень связи токов в обмотках с общим магнитным потоком (собственный магнитный поток каждой обмотки является потоком рассеяния):

  (46)

где K – коэффициент связи между обмотками (0 ≤ K ≤ 1).

При K = 0 (нет связи, M = 0) формула (45) превращается в известное соотношение для определения эквивалентного значения двух параллельно соединенных независимых индуктивностей, что свидетельствует о ее корректности. Но после этого все авторы учебников по теории электрических цепей, в том числе и [13], почему-то прекращают анализ полученного выражения. Но что будет, если обмотки имеют 100% связь друг с другом, когда K = 1? В этом случае числитель формулы (45) обращается в ноль независимо от значений L1 и L2 и способа включения обмоток (встречно или параллельно). Правильно ли это?

Давайте проведем мысленный эксперимент. Возьмем какой-нибудь магнитопровод и намотаем обмотку двумя изолированными проводами (Рисунок 21). Возьмем прибор и измерим индуктивность первого провода – пусть она равна 1 Гн. Теперь измерим индуктивность второго – очевидно, что она тоже будет равна 1 Гн. А теперь соединим параллельно провода и измерим полученную индуктивность. Согласно формулам (45), (46) прибор должен показать 0 Гн, но продолжает показывать 1 Гн. Если бы обмотки имели разные магнитопроводы, тогда эквивалентная индуктивность была бы равна 0.5 Гн – значит налицо факт магнитной связи между обмотками. А ведь обмотку еще можно намотать литцендратом…

Измерение индуктивности обмотки, намотанной двумя проводами.
Рисунок 21. Измерение индуктивности обмотки, намотанной двумя проводами.

Так что же происходит в параллельно соединенных связанных индуктивностях? Оказывается, что при 100% связи схема Рисунка 20 может существовать только при одном условии, определяемом на основании закона Фарадея и второго закона Кирхгофа:

  (47)

А это значит, что при отсутствии потоков рассеяния и потерь в обмотках количество их витков должно быть одинаково (N1 = N2). В противном случае должен быть нарушен один из фундаментальных законов.

На практике, конечно, такая цепь может существовать при любом соотношении числа витков, ведь стопроцентную связь, как утверждают физики, обеспечить практически невозможно, да и обмотки имеют ненулевые сопротивления, падения напряжения на которых могут «спасти» ситуацию. Получается, что формула (45) все-таки правильна, ведь в случае L1 ≠ L2 эквивалентная индуктивность будет равна нулю. Но почему тогда она дает неправильный результат при L1 = L2 и K = 1? Ответа я пока не нашел. Возможно, существуют пределы применимости этой формулы, о которых авторы почему-то умалчивают.

Почему я обратил внимание на этот момент. Я не буду утверждать, что формула (45) неправильна или некорректна. Возможно, при K << 1 она даст правильные результаты. Однако в нашем случае такой подход к анализу электрических процессов в обмотках дросселя даст некорректные результаты. Этот вопрос, кстати, может стать неплохой темой для обсуждения на форуме портала РадиоЛоцман – я с удовольствием приму участие в дискуссии.

Итак, при параллельном соединении двух связанных обмоток должно выполняться условие (47), которое в общем случае можно записать как:

  (48)

Для определения величины изменения тока этого пока недостаточно. Но тут поможет другое свойство. Поскольку общий магнитный поток связан со всеми витками, по которым протекает электрический ток, его изменение должно привести к одинаковому изменению тока в каждом витке, а это значит, что:

  (49)

Изменение намагничивающей силы ΔН связано с изменением токов в активных обмотках следующим образом:

  (50)

Теперь, связав воедино формулы (48) – (50) и все, что было сказано раньше, можно получить обобщенную формулу, позволяющую определить изменение тока в любой обмотке дросселя:

  (51)

где U – напряжение, приложенное к обмотке на интервале Δt.

И наконец, мы можем определить изменение тока на втором этапе преобразования, при условии, что оба канала преобразователя имеют нагрузку:

  (52)

Давайте выполним проверку. На первом этапе преобразования ток, протекающий только по обмотке W1, вызовет изменение относительной намагничивающей силы:

  (53)

А на втором этапе:

  (54)

И это подтверждает правильность наших расчетов. Теперь мы знаем, как будут изменяться токи в различных режимах работы (Таблица 3) и можем приступить к определению их остальных параметров (максимальных, средних и действующих значений).

Таблица 3. Изменение тока в обмотках дросселя при различных режимах работы
  Первый этап
преобразования
Второй этап преобразования
Работают оба канала
(IВЫХ1 ≠ 0, IВЫХ2 ≠ 0)
Работает первый канал
(IВЫХ1 ≠ 0, IВЫХ2 = 0)
Работает второй канал
(IВЫХ1 = 0, IВЫХ2 ≠ 0)
ΔI1, А 3.6 0.89 3.6  
ΔI2, А   1.53   2

Кстати, при легких нагрузках, если силовая часть преобразователя будет работать в разрывных режимах, ситуация будет еще сложнее. Вначале ток в обеих обмотках будет уменьшаться со скоростями U/(L1 + L2) а затем, после отключения одной из обмоток, скорость изменения тока в оставшейся рабочей обмотке увеличится и будет равна или U/L1 или U/L2 (в зависимости от того, какой из диодов закроется раньше). Однако анализ работы этой схемы в разрывных режимах выходит за рамки данной статьи.

Список источников

  1. Русу А.П. Откуда появились базовые схемы преобразователей
  2. Русу А.П. Зачем нужен трансформатор в импульсном преобразователе электрической энергии?
  3. Русу А.П. Особенности применения трансформаторов в импульсных преобразователях электрической энергии
  4. Русу А.П. В каком режиме должен работать магнитопровод дросселя импульсного преобразователя?
  5. Материалы с сайта coretech.com.ua
  6. Русу А.П. Как определить размеры магнитопровода дросселя импульсного преобразователя
  7. Русу А.П. Почему импульсные преобразователи «не любят» «легкую» нагрузку
  8. Каталог Powder Cores. – Epcos. – Magnetics. – 2017. – 112c.
  9. Ferrites and accessories. SIFERRIT material N87. – Epcos. – 2006. – 7с.
  10. Каталог сердечников из распыленного железа. – Coretech. – 2012. – 24с.
  11. Русу А.П. Почему обмотки дросселя обратноходового преобразователя могут иметь разное число витков
  12. Русу А.П. Может ли ток в обмотке дросселя измениться мгновенно?
  13. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П. Бакалова. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007. – 597 с.
Для комментирования материалов с сайта и получения полного доступа к нашему форуму Вам необходимо зарегистрироваться.
Имя