Определение действующих значений токов в элементах силовой части
Чтобы закончить расчет дросселя, необходимо определить диаметры (или калибры) проводов обмоток. В общем случае необходимое сечение проводов SПРОВ рассчитывается по формуле:
 |
(90) |
где
IД – действующее значение тока в обмотке;
J – плотность тока в ней.
Плотность токов обычно задается разработчиком, а вот их действующие значения необходимо рассчитывать на основании имеющихся у нас данных.
В электротехнике действующее (среднеквадратическое, эффективное, Root Mean Square, RMS) значение чего-либо обычно отражает энергетическую составляющую происходящих процессов. С точки зрения физики, действующее значение любого произвольного тока или напряжения равно такому значению постоянного тока (напряжения), при котором на резистивной нагрузке выделится одинаковое значение тепла. Поэтому неудивительно, что все энергетические вопросы в электротехнике связаны именно с этими параметрами. Самый яркий пример – именно действующее значение напряжения промышленной сети (220 В), а не его амплитуда (308 В), размах (616 В) или среднее значение (0 В) является основой для определения мощности оборудования и количества потребленной энергии.
Кроме формулы (90), действующие значения токов впоследствии понадобятся в других расчетах, например, при определении потерь в силовых элементах (транзисторах, диодах, конденсаторах) или температуры перегрева проводов или дорожек печатной платы.
Для простых периодических сигналов (синусоидальных, треугольных, прямоугольных и т.п.) формулы для определения действующих значений давно известны. Они также получены и для сигналов, протекающих в импульсных преобразователях. Однако известны они для «стандартных» схем, а в нашем нестандартном случае их придется выводить самостоятельно.
Итак, определим действующие значения токов в обмотках нашего дросселя, а заодно – и в остальных компонентах схемы. Как обычно, я буду максимально подробно описывать последовательность расчетов, поскольку по собственному опыту знаю, как тяжело восстанавливать все промежуточные преобразования, опускаемые авторами большинства статей, посвященных этому вопросу.
В общем случае, действующее значение периодических токов, определяется по формуле:
 |
(91) |
Начнем с обмотки W1. Зависимость мгновенного значения ее тока iW1(t) от времени описано формулой (60), и теперь осталось только подставить эти выражения в (91), сразу же воспользовавшись свойством (62). Кроме этого, для упрощения понимания сути преобразований временно избавимся от корня в правой части формулы, возведя в квадрат обе ее части, а также умножим их на длительность периода преобразования. В итоге получим:
 |
(92) |
Рассмотрим первый интеграл. В первую очередь избавимся от квадрата в подынтегральном выражении. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:
 |
(93) |
Получаем:
 |
(94) |
Раскрываем все круглые скобки:
 |
(95) |
Опять избавляемся от скобок в квадрате по правилу (93):
 |
(96) |
Теперь снова воспользуемся свойством (64) и запишем первый интеграл формулы (92) в виде суммы шести интегралов:
 |
(97) |
Выносим все константы (все, что не содержит «t» без индексов) за пределы интегралов по правилу (66):
 |
(98) |
Избавляемся от интегралов. Первый, третий и шестой «пустые» (без «t» внутри) интегралы «берем» с помощью табличного интеграла (68), а остальные – по правилу (69), где показатель степени a = 1 для второго и пятого, а для четвертого – a = 2:
 |
(99) |
Теперь начинаем сокращать, вспомнив, что t1 = tКОН1 – tНАЧ1, а разность квадратов во втором и пятом слагаемых можно записать в виде:
 |
(100) |
Получим:
 |
(101) |
Второе и третье слагаемое можно объединить:
 |
(102) |
Теперь формула (101):
 |
(103) |
Раскрываем скобки в четвертом слагаемом и складываем его с пятым:
 |
(104) |
Теперь формула (103) стала еще проще:
 |
(105) |
В третьем слагаемом формулы (105) у нас присутствует разность кубов, поэтому придется еще раз вспомнить формулы сокращенного умножения:
 |
(106) |
Раскроем скобки в третьем слагаемом:
 |
(107) |
Теперь сложим формулу (107) с четвертым слагаемым формулы (105):
 |
(108) |
Очевидно, что к выражению в скобках формулы (108) также можно применить правило (93), только уже «наоборот»:
 |
(109) |
И теперь формулу (105) можно записать в окончательном виде:
 |
(110) |
Те же самые преобразования необходимо проделать и со вторым интегралом формулы (92). Но поскольку они полностью аналогичны, то приведем лишь конечный результат:
 |
(111) |
Теперь мы можем записать формулу для определения действующего тока в обмотке W1:
 |
(112) |
Определим его численное значение для всех трех случаев, воспользовавшись полученными ранее параметрами токов в обмотках из Таблицы 4.
Когда работает только первый канал:
 |
(113) |
Когда работает только второй канал:
 |
(114) |
Когда работают оба канала:
 |
(115) |
Для обмотки W2 действующее значение тока определяется аналогично. Если подходить строго, например, как было сделано при получении формулы (63), то нужно взять формулу (59), описывающую закон изменения тока обмотки W2 во времени, подставить ее в (91), выполнить все необходимые преобразования и получить итоговое выражение для расчета действующего тока. Однако внимательный читатель уже поймет, что мы получим формулу, аналогичную (112), только без первого слагаемого и с другими суффиксами в индексах обозначений (будут суффиксы «_2»).
Но я не зря начал именно с обмотки W1. Дело в том, что если в формуле (112) в индексах обозначений убрать суффиксы «_1», показывающие, что эти параметры принадлежат к обмотке W1, то получим:
 |
(116) |
Формула (116) является обобщенной и может быть использована для определения действующих значений тока любого элемента в силовой части преобразователя. Главное, чтобы этот ток имел форму, показанную на Рисунке 22. Если же ток на каком-либо интервале преобразования не протекает, то вместо соответствующих значений IНАЧ и ΔI нужно просто подставить нули, как это было сделано в формуле (114).
Определим действующие значения тока обмотки W2, воспользовавшись формулой (116). Поскольку ток по ней на первом этапе преобразования не протекает (IНАЧ1 = 0 и ΔI1 = 0), то первое слагаемое в ней будет равно нулю. В итоге получим:
 |
(117) |
Когда работает только второй канал:
 |
(118) |
Когда работают оба канала:
 |
(119) |
Действующие значения токов в других элементах схемы определяются аналогично. Через транзистор VT1 протекает ток обмотки W1, но только на первом этапе преобразования, поэтому закон изменения его во времени будет иметь вид:
 |
(120) |
А действующее значение будет определяться по формуле:
 |
(121) |
Для диода VD2 все наоборот, ток протекает только на втором этапе преобразования:
 |
(122) |
И действующее значение будет равно:
 |
(123) |
А вот параметры тока диода VD1 полностью совпадают с параметрами тока обмотки W2 (это физически один и тот же ток).
Токи конденсаторов С1 – С3 также определяются токами в обмотках дросселя, однако начальные значения будут иными. Дело в том, что через них протекает еще и ток нагрузки (для С2 и С3) или входной ток (для С1), поэтому, согласно первому правилу Кирхгофа:
 |
(124) |
 |
(125) |
 |
(126) |
Это означает, что действующие значения их токов будут определяться формулами:
 |
(127) |
 |
(128) |
 |
(129) |
Формулы (127) - (129) можно легко получить из (116); для этого нужно только подставить вместо начальных значений токов (IНАЧ_1(2)) разность токов дросселя и входных (выходных) токов (IНАЧ_1(2) – IВХ(ВЫХ)), что и будет фактическим начальным значением тока конденсатора на данном этапе. Кроме того, обратите внимание, что даже если на каком-либо этапе преобразования конденсатор отключен от дросселя, через него все равно протекает ток, хоть и при нулевых изменениях (ΔI = 0).
Результаты расчетов действующих токов в силовых элементах представлены в Таблице 5.
| Таблица 5. | Действующие значения токов в силовых элементах схемы, А | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Выбор проводов обмоток дросселя
Из Таблицы 5 видно, что максимальное значение действующих токов в обмотках дросселя будет в случае, когда два канала работают одновременно, поэтому примем в дальнейших расчетах IW1_Д = 5.83 А и IW2_Д = 3.43 А. Теперь, для того чтобы воспользоваться формулой (90), необходимо выбрать плотность тока в обмотках.
В общем случае, плотность тока может колебаться в широких пределах от 2 А/мм2 до 10 А/мм2. На практике она выбирается разработчиком на основании многих факторов, главными из которых являются величина потерь и условия охлаждения дросселя. Увеличение плотности тока позволяет использовать более тонкий провод, однако при этом увеличивается его сопротивление, а, значит – и величина потерь, что, в свою очередь, приводит к увеличению температуры дросселя. Хотя, если количество витков невелико или используется хорошее принудительное охлаждение, то уровень потерь в этой обмотке может внести столь незначительный вклад в общий КПД преобразователя, что плотность тока можно будет выбрать и больше 10 А/мм2.
Если же плотность тока невелика, то есть риск, что обмотки не поместятся в окне и тогда придется либо выбирать магнитопровод с большим окном, либо идти на другой компромисс и увеличивать плотность тока. При малых токах минимально необходимое сечение проводов может оказаться настолько малым, что намотать обмотку проводом нужно диаметра окажется технологически сложно и даже невозможно. В этом случае плотность тока может быть и меньше 2 А/мм2.
Выберем плотность тока для всех обмоток одинаковую и равную J = 6 А/мм2. В этом случае:
 |
(130) |
По этим значениям из таблицы стандартных проводов, например [14], выбираем провод с ближайшим сечением. При выборе конкретной марки проводов следует пользоваться теми же соображениями, что и при выборе магнитопроводов – использовать те марки и калибры, которые можно без проблем купить в нужном количестве. Кроме того, если есть такая возможность, использовать провода одного диаметра – это в дальнейшем удешевит производство.
По рассчитанным значениям SПРОВ_1 и SПРОВ_2 выберем для первичной обмотки провод ПЭТ-155-1.12 с площадью поперечного сечения медной жилы 0.9852 мм2 и максимальным наружным диаметром 1.217 мм, а для вторичной – ПЭТ-155-0.85 с сечением 0.5675 мм2 и диаметром 0.937 мм.
Список источников
- Русу А.П. Откуда появились базовые схемы преобразователей
- Русу А.П. Зачем нужен трансформатор в импульсном преобразователе электрической энергии?
- Русу А.П. Особенности применения трансформаторов в импульсных преобразователях электрической энергии
- Русу А.П. В каком режиме должен работать магнитопровод дросселя импульсного преобразователя?
- Материалы с сайта coretech.com.ua
- Русу А.П. Как определить размеры магнитопровода дросселя импульсного преобразователя
- Русу А.П. Почему импульсные преобразователи «не любят» «легкую» нагрузку
- Каталог Powder Cores. – Epcos. – Magnetics. – 2017. – 112c.
- Ferrites and accessories. SIFERRIT material N87. – Epcos. – 2006. – 7с.
- Каталог сердечников из распыленного железа. – Coretech. – 2012. – 24с.
- Русу А.П. Почему обмотки дросселя обратноходового преобразователя могут иметь разное число витков
- Русу А.П. Может ли ток в обмотке дросселя измениться мгновенно?
- Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П. Бакалова. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007. – 597 с.
- Медные эмалированные провода в стандартах Украины и СНГ. – CoreTech. – 2015. – 10 c.
